2. КВАДРАТ ДЮРЕРА

1. Таблица булевых функций от 2-х переменных.
2. Квадрат Дюрера и логические функции.
3. Некоторые симметрии квадрата Дюрера.
   1. Коммутативные и некоммутативные операции.
   2. Преобразование перемены местами x и y: d(y,x).
   3. Преобразование отрицания: d(x,y).
   4. Преобразование переворота: d(x,y).
   5. Преобразование двойственности: d(x,y).
   6. Преобразование замены y на y: d(x,y).
   7. Преобразование замены x на x: d(x,y).
   8. Преобразование отождествления y=x: d(x,x).
      1. Подквадраты r_7i квадрата d₇.
      2. Подквадраты q_7i квадрата d₇.
   9. Подквадраты r_i квадрата d.
      1. Соотношение квадратов r₂ и r₃.
      2. Соотношение квадратов r₁ и r₄.
      3. Соотношение квадратов r₂ и r₃ с квадратом r₄.
   10. Объединение подквадратов r₂ и r₃, r₁ и r₄.
   11. Четыре коммутативные и ассоциативные операции.
   12. Поразрядные квадраты.
   13. Операция исключающей дизъюнкции и квадраты r_i.
   14. Подквадраты q_i квадрата d.
   15. Операция исключающей дизъюнкции и квадраты q_i.
   16. Магичность преобразований ₁₆.
   17. Обобщённая магичность преобразования ₇.
   18. Магичность подквадратов r₁r₄ и q₁q₄.
   19. Центральная симметрия квадратов d, r₁r₄ и q₁q₄.
   20. Ещё некоторые суммы чисел.

2.1. Таблица булевых функций от 2-х переменных.
		разряды	обозначение	название	выражение через	выражение через
		3210
код функции	x =	0011			& и - верхняя строка	- верхняя строка
	y =	0101			и - нижняя строка	- нижняя строка
0	KA	0000	0	ложь	0	0 0
1	KA	0001	x&y	конъюнкция	x&y (xy)	(xy)(xy) (xy)(xy)
2		0010	x\y	разность	x&y (xy)	(xx)y (x(yy))(x(yy))
3	A	0011	x	x	x	x x
4		0100	y\x	разность	x&y (xy)	x(yy) ((xx)y)((xx)y)
5	A	0101	y	y	y	y y
6	KA	0110	xy	исключающая дизъюнкция	(x&y)(x&y) (xy)&(xy)	(xy)((xx)(yy)) (x(yy))((xx)y)
7	KA	0111	xy	дизъюнкция	xy (x&y)	(xy)(xy) (xx)(yy)
8	K	1000	xy	стрелка Пирса	x&y (xy)	xy ((xx)(yy))((xx)(yy))
9	KA	1001	xy	эквивалентность	(x&y)(x&y) (xy)&(xy)	(x(yy))((xx)y) (xy)((xx)(yy))
A		1010	y	отрицание	y	yy yy
B		1011	yx	импликация	xy (x&y)	((xx)y)((xx)y) (xx)y
C		1100	x	отрицание	x	xx xx
D		1101	xy	импликация	xy (x&y)	(x(yy))(x(yy)) x(yy)
E	K	1110	xy	штрих Шеффера	xy (x&y)	((xx)(yy))((xx)(yy)) xy
F	KA	1111	1	истина	1	1

K - коммутативные операции, A - ассоциативные операции

2.2. Квадрат Дюрера и логические функции.

Возьмём магический квадрат 4x4, изображённый на знаменитой картине Дюрера:

квадрат d10						квадрат d
16	3	2	13	Вычитаем "1" из каждого числа и преобразуем десятичные числа в шестнадцатиричные		F	2	1	C
5	10	11	8			4	9	A	7
9	6	7	12			8	5	6	B
4	15	14	1			3	E	D	0

Подставив вместо чисел обозначения соответствующих логических операций, получаем:

квадрат d(x,y)
1	x\y	x&y	x
y\x	xy	y	xy
xy	y	xy	yx
x	xy	xy	0

Используя выражения логических операций через &, , , можно записать:

1	x&y	x&y	x
x&y	(x&y)(x&y)	y	xy
x&y	y	(x&y)(x&y)	xy
x	xy	xy	0

Ниже, если не оговорено особо, под квадратом d будетпониматься квадрат, составленный из шестнадцатиричных чисел 0F, или квадрат логических функций. Магическая сумма такого квадрата равна 1E₁₆.

2.3. Некоторые симметрии квадрата Дюрера.

Квадрат d обладает глубокой симметрией, исследованию которой посвящены подпункты п.2.3.

2.3.1. Коммутативные и некоммутативные операции.

Желтым цветом выделены все коммутативные операции. Коммутативные и некоммутативные операции заполняют квадрат в шахматном порядке. Главная диагональ - коммутативные операции, вторая диагональ - некоммутативные операции.

2.3.2. Преобразование перемены местами x и y: d(y,x).

d1=d1 : d1(x,y) = d(y,x) оставляет коммутативные операции на месте, а некоммутативные операции разбивает на пары операций, переходящих друг в друга.

2.3.3. Преобразование отрицания: d(x,y).

d2=d2 : d2(x,y) = d(x,y) переводит каждую операцию в симметричную ей относительно центра квадрата.

2.3.4. Преобразование переворота: d(x,y).

d3=d3 : d3(x,y) = d(x,y) двоичный код операции переворачивается (считывается в обратном направлении так, что двоичные разряды меняются местами: 0-3, 1-2). Этому преобразованию соответствует симметричное отображение относительно главной диагонали.

2.3.5. Преобразование двойственности: d(x,y).

d4=d4 : d4(x,y) = d(x,y) - сочетание преобразований отрицания и переворота. Этому преобразованию соответствует симметричное отображение относительно второй диагонали. Это преобразование преобразует друг в друга штрих Шеффера и стрелку Пирса (и ), то есть операции, через каждую из которых могут быть выражены все остальные операции. Другие пары двойственных операций: конъюнкция и дизъюнкция (& и ), разность и импликация (\ и ), эквивалентность и исключающая дизъюнкция ( и ), истина и ложь (1 и 0).

2.3.6. Преобразование замены y на y: d(x,y).

d5=d5 : d5(x,y) = d(x,y) осуществляет преобразование квадрата по схеме:

2.3.7. Преобразование замены x на x: d(x,y).

d6=d6 : d6(x,y) = d(x,y) осуществляет преобразование квадрата по схеме:

2.3.8. Преобразование отождествления y=x: d(x,x).

d7=d7 : d7(x,y) = d(x,x). Здесь хорошо просматривается "грубая" структура исходного квадрата d.

квадрат d7 =

1 0 x x 0 1 x x x x 0 1 x x 1 0

2.3.8.1. Подквадраты r_7i квадрата d₇.

В квадрате d7 можно выделить 4 подквадрата 2x2 по схеме:	Эти подквадраты r7i квадрата d7 выглядят так:
	r71	1 x x 0	0 x x 1	r72	r71 = r74 r72 = r73 r71 = r72
	r73	0 x x 1	1 x x 0	r74
	r71 и r72 получаются друг из друга с помощью центрально-симметричного преобразования - операцией отрицания.

2.3.8.2. Подквадраты q_7i квадрата d₇.

В квадрате d7 можно выделить 4 подквадрата 2x2 по схеме:	Эти подквадраты q7i квадрата d7 выглядят так:
1 1 1 1 2 2 2 2 3 3 3 3 4 4 4 4	q71	1 0 0 1	x x x x	q72	q71 = q74 q72 = q73 q71 = q72(1) = q73(0) q74 = q72(0) = q73(1)
	q73	x x x x	0 1 1 0	q74

2.3.9. Подквадраты r_i квадрата d.

Подквадраты r_i квадрата d, соответствующие подквадратам r_7i квадрата d₇. Каждый из этих квадратов имеет структуру вида:

a b b a

Более детально:

r11 r21 r2x r1x r31 r41 r4x r3x r3x r4x r41 r31 r1x r2x r21 r11

2.3.9.1. Соотношение квадратов r₂ и r3.

x&y x&y r2 xy xy

x&y xy r3 x&y xy

Преобразование ₃ : d₃(x,y)=d(x,y) преобразует r₂ в r₃`, отличающийся от r₃ симметрией относительно главной диагонали подквадрата r₃ (и наоборот):

3 r2

x&y x&y xy xy

3 r3

x&y xy x&y xy

Преобразование ₄ : d₄(x,y)=d(x,y) преобразует r₂ в r₃``, отличающийся от r₃ симметрией относительно второй диагонали подквадрата r₃ (и наоборот):

4 r2

xy xy x&y x&y

4 r3

xy x&y xy x&y

Преобразование ₆ : d₆(x,y)=d(x,y) преобразует r₂ в r₃```, отличающийся от r₃ поворотом на 90^o:

6 r2

x&y x&y xy xy

6 r3

x&y xy x&y xy

2.3.9.2. Соотношение квадратов r₁ и r4.

1 x r1 x 0

(x&y)(x&y) y r4 y (x&y)(x&y)

Преобразование ₇ : d₇(x,y)=d(x,x) преобразует r₄ в r₁.

2.3.9.3. Соотношение квадратов r₂ и r3 с квадратом r4.

Можно применить штрих Шеффера по схеме:

r11 r21 r2x r1x r31 r41 r4x r3x r3x r4x r41 r31 r1x r2x r21 r11

r11 = r21r2x = r31r3x r1x = r3xr31 r1x = r2xr21

r41 = r3xr2x r4x = r3xr21 r4x = r31r2x r41 = r31r21

Можно применить стрелку Пирса по симметричной схеме:

r11 r21 r2x r1x r31 r41 r4x r3x r3x r4x r41 r31 r1x r2x r21 r11

r11 = r31r3x = r21r2x r1x = r3xr31 r1x = r21r2x

r41 = r21r31 r4x = r21r3x r4x = r2xr31 r41 = r2xr3x

2.3.10. Объединение подквадратов r₂ и r3, r₁ и r4.

Преобразование ₁ : d₁(x,y)=d(y,x) объединяет квадраты r₂ и r3 в конструкцию слева и квадраты r₁ и r4 в конструкцию справа:

2.3.11. Четыре коммутативные и ассоциативные операции.

В применении к строкам, столбцам и диагоналям квадрата d эти операции дают:

& конъюнкция	- 0
дизъюнкция	- 1
эквивалентность	- 1
исключающая дизъюнкция	- 0

2.3.12. Поразрядные квадраты.

Если из исходного квадрата d, составленного из шестнадцатиричных цифр, построить 4 поразрядных квадрата, то получится, что в каждом из этих квадратов в каждой строке, каждом столбце и на каждой диагонали ровно два "0" и две "1":

2.3.13. Операция исключающей дизъюнкции и квадраты r_i.

К исходному квадрату d, составленному из шестнадцатиричных чисел, можно поразрядно применить операцию a. Для a=6,B,D имеем:

a=6	r1r4	r2r3	a r1 r2 r3 r4 r1 0 D B 6 r2 D 0 6 B r3 B 6 0 D r4 6 B D 0
a=B	r1r3	r2r4
a=D	r1r2	r3r4

2.3.14. Подквадраты q_i квадрата d.

Подквадраты q_i квадрата d, соответствующие подквадратам q_7i квадрата d₇. Каждый из этих подквадратов имеет структуру вида:

(a&b) b a (ab)

или

(ab) a b (a&b)

причем b(x,y)=a(y,x)

Более детально:

(q1a&q1b)	q1b	(q2aq2b)	q2a
q1a	(q1aq1b)	q2b	(q2aq2b)
(q3aq3b)	q3a	(q4a&q4b)	q4b
q3b	(q3aq3b)	q4a	(q4aq4b)

2.3.15. Операция исключающей дизъюнкции и квадраты q_i.

Квадраты q_i переходят друг в друга в результате применения к квадрату d как квадрату шестнадцатиричных чисел поразрядной операции a, где a=7,9,E:

a=9	q1q4	q2q3	a q1 q2 q3 q4 q1 0 E 7 9 q2 E 0 9 7 q3 7 9 0 E q4 9 7 E 0
a=7	q1q3	q2q4
a=E	q1q2	q3q4

2.3.16. Магичность преобразований ₁₆.

Эти преобразования переводят магический квадрат Дюрера d тоже в магический квадрат (естественно, с той же магической суммой 1E₁₆ - для квадрата шестнадцатиричных чисел 7F).

2.3.17. Обобщённая магичность преобразования ₆.

Это преобразование конструирует из магического квадрата d обобщённый магический квадрат с той же магической суммой, составленный из 4-х чисел 0,3,C,F, каждое из которых встречается ровно 4 раза и при этом один раз в каждой строке и каждом столбце. Диагонали составлены каждая из двух чисел (0,F) и (3,C), встречающихся на диагонали 2 раза.

квадрат d	схемы расположения чисел:
	F	0	C	3
F 0 3 C 0 F C 3 C 3 0 F 3 C F 0

2.3.18. Магичность подквадратов r₁r₄ и q₁q₄.

Каждый из этих подквадратов состоит из 4-х чисел, сумма которых равна магической сумме 1E.

2.3.19. Центральная симметрия квадратов d, r₁r₄ и q₁q₄.

Центрально-симметричные клетки квадрата d и подквадратов r₁r₄ и q₁q₄. Сумма каждых двух центрально-симметричных чисел магического квадрата d (расположенных в центрально-симметричных клетках квадрата) равна половине магической суммы 1E/2=F. Соответственно, это относится к сумме центрально-симметричных чисел каждого подквадрата r₁r₄. Суммы центрально-симметричных чисел подквадратов q₁q₄ равны 6-18 и 8-16 и располагаются по схеме:

2.3.20. Ещё некоторые суммы чисел.

Если вычислять суммы чисел по схеме то получится -   -        11   D                     -   -   D   11                 |   | -   -   D   11                     -   -   11   D

Если вычислять суммы чисел по схеме то получится              13   B - B   13 |   |   |   |                                             B   13 - 13   B |   |   |   |